Una invitació a la pèrdua de la certesa

Mentre deso a la motxilla els llibres que me’n portaré aquestes vacances, bull encara al meu cap una lectura de l’estiu passat: “Matemáticas. La pérdida de la certidumbre” de Morris Kline (1908-1992), a la qual us voldria convidar amb aquesta ressenya una mica fora de temps –al cap i a la fi el llibre es va publicar fa gairebé quaranta anys-. Serveixi també aquest post com una invitació a l’obra de Kline, especialment dirigida als més joves de la nostra comunitat.

A principis dels noranta, essent un estudiant de matemàtiques a l’Autònoma, per mi Kline era només l’autor d’una història de la Matemàtica enciclopèdica que cobejava i que em resultava inabastable pel seu preu: “El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días” (Alianza Editorial l’havia publicat en tres volums. Fa uns anys la va reeditar en un sol volum). Al cap de poc, en aterrar a la UPC, vaig tenir la sort de poder compartir converses –que ara veig com a profundament formadores- amb els meus companys i mestres, els professors Santi Forcada i Eduard Recasens, que em van fer descobrir que Kline havia estat un historiador i filòsof de les matemàtiques profund i fortament compromès amb l’ensenyament, prenent partit contra el corrent predominant al tercer quart del segle XX –les matemàtiques modernes– i en favor d’unes matemàtiques significatives pels alumnes. M’han calgut tots aquests anys per poder atendre el seu suggeriment, que ara us faig extensiu.

Per començar, us asseguro que “Matemáticas. La pérdida de la certidumbre” és un text deliciós, vibrant, i amb perles d’humor que ens recorda que el seu origen està en els cursos que el seu autor preparava per la Universitat de Nova York, i que ens fa sentir enveja de Kline com a professor.

La motivació del llibre és fer evident quelcom que la història de les matemàtiques posa de manifest i del que, en canvi, ben poca gent és conscient: que la idea de la matemàtica com “un cos de raonament infal·lible i universalment acceptat –les majestuoses matemàtiques del 1800, orgull de l’home- és una complerta il·lusió” (p. 5). Que existeixen diverses matemàtiques i que “la demostració, el rigor absolut són una quimera” (p. 380) . Que el concepte de demostració és un concepte només relatiu al moment històric. Que el grau de certesa que podem obtenir en matemàtiques és equiparable al de les teories físiques: és a dir transitori. I que això és estructural en l’edifici de les matemàtiques, no el fruit d’un moment històric.

Podríem dir que el llibre consta de dos parts. La primera, formada pels capítols 1 a 12, és un recorregut històric pels diferents intents de fonamentació de les matemàtiques i també de les diverses crisis que els matemàtics i les matemàtiques han hagut de superar: el descobriment dels nombres irracionals i la relació del número i la geometria; l’encaix d’aquests nombres i dels nombres negatius i complexos; els problemes sorgits del tractament dels infinitèssims; les geometries no-euclidianes… Els títols dels capítols evidencien el to del text: “El primer desastre”, “El desenvolupament il·lògic”, “Desastres”

En aquests capítols Kline evidencia també la tensió estructural entre el vigor creador de les matemàtiques, basat en la intuïció, i la permanent necessitat de fonamentació de l’edifici. La posició de Kline és clara: sortosament els matemàtics han estat sovint poc preocupats pel rigor, seguint les seves ànsies creadores han arribat fins allà a on no haguessin arribat d’haver estat més cautelosos.

Amara, també, aquests capítols la idea que fins ben entrat el segle XVIII l’obra dels matemàtics té un caire espiritual: l’obra de Déu seguia un disseny matemàtic i el coneixement de les matemàtiques servia per revelar aquest disseny. Però també que la doctrina del pla matemàtic de la natura va ser soscavada pel treball dels propis matemàtics. Només per aquesta fibra que recorre aquests capítols mereix la pena llegir aquest text.

No cal dir que un bon nombre de pàgines es dediquen a una acurada descripció dels treballs sobre teoria de conjunts i l’estat de les matemàtiques a començaments del segle XX, de les diferents respostes que van oferir les escoles logicista, intuïcionista i formalista i de com els Teoremes de Gödel i de Löwenheim-Skolem van deixar clar la impossibilitat de fonamentar la matemàtica d’una forma única, universalment acceptada, consistent i complerta, és a dir que permeti la demostració de totes les veritats que contingui.

Un es queda amb la impressió que aquests capítols són un llarg i vibrant preàmbul als capítols finals (del 13 al 15), a on Kline exposa les seves idees sobre la validesa històrica i temporal de les demostracions matemàtiques; l’equiparació de la certesa matemàtica a la certesa en les ciències físiques; una alerta sobre l’allunyament de les matemàtiques de les aplicacions i el progressiu aïllament de les matemàtiques que segons ell portarien a l’esterilitat del pensament matemàtic (pensem que Kline escriu el text a finals dels anys setanta, un moment ben allunyat de l’actual); i l’adequació per la descripció de la natura com a guiatge per a les futures matemàtiques.

No és fàcil trobar “Matemáticas. La pérdida de la certidumbre” a les llibreries ja que la darrera edició a l’Editorial Siglo XXI és del 1998, però hi ha uns quants exemplars a les nostres biblioteques i és fàcil trobar edicions barates en anglès a través de internet.

Tant de bo que aquesta ressenya extemporània sigui una invitació a la lectura d’una obra singular i lúcida sobre la història del nostre ofici, sobre els nostres anhels i sobre les nostres limitacions també. Una invitació a seguir meditant sobre què som i per què fem el que fem.

Morris Kline
Matemáticas. La pérdida de la certidumbre.
Traducció d’Andrés Ruiz Merino.
Siglo XXI editores.
Madrid 1998.

Aquest post és una adaptació del publicat
el 28 de juliol de 2017 al bloc “Catàleg de desficis”

Maryam Mirzakhani, una llum que mai no s’apagarà

El passat dissabte dia 15 de juliol ens vam assabentar que Maryam Mirzakhani havia estat vençuda als 40 anys pel càncer que patia. Aquest mateix dia Firouz Naderi, científic espacial iranià i un dels seus amics més propers, va escriure a Instagram: “Una llum s’ha apagat avui. Trenca el meu cor … . Se n’ha anat lluny massa aviat. Era un geni? Sí, però també una filla, una mare i una esposa”. Les seves paraules són avui les nostres paraules. La seva llum se n’ha anat, però sabem que no s’apaga.

Molts de nosaltres vam sentir parlar de Maryam Mirzakhani per primera vegada a l’agost de 2014 quan va saltar a la fama per convertir-se en la primera dona, i l’única fins ara, que aconseguia una medalla Fields. Uns mesos abans, uns col·legues parisencs apostaven que seria una francesa la primera dona que ho aconseguiria. Efectivament, finalment una dona la va guanyar en aquesta ocasió, una dona iraniana establerta als Estats Units, Maryam Mirzakhani.

El seu nom se’ns apareix associat a enormes fulls de paper en què dibuixava superfícies amb nanses i les envoltava de fórmules i més fórmules. No gaire lluny d’ella, la seva filla Anahita, sempre al seu costat en aquesta aventura final, descrivia aquests papers com les pintures de la mare. Les fórmules les embolicaven a elles, i a tots nosaltres, i ens transportaven a un nou món amb les seves pròpies regles, el dels problemes de classificació en superfícies de Riemann, en geometria hiperbòlica i l’estudi dels billars hiperbòlics. Un món fascinant que ella protagonitzava i desenvolupava. Maryam es va especialitzar en problemes de geometria sobre superfícies i espais de moduli, pensant en les superfícies com un model de joguina per entendre dimensions superiors, interessant-se també per problemes de sistemes dinàmics en aquestes superfícies.

Els treballs de Maryam Mirzakhani tracen connexions profundes entre la topologia, la geometria i els sistemes dinàmics. També va trobar fascinants relacions amb certs problemes de la física teòrica. Els seus primers treballs se centren en l’estudi de geodèsiques tancades en una superfície hiperbòlica. Mirzakhani va demostrar que el creixement de geodèsiques de longitud L és d’ordre L ^ (6g-6) essent g el gènere de la superfície i va estudiar el seu límit quan L tendeix a infinit. Aquest estudi considera la variació de l’estructura geomètrica de la superfície i analitza el que passa en l’espai de moduli. Una conseqüència inesperada d’aquest resultat és la demostració d’una conjectura d’Edward Witten, medalla Fields i expert en teoria de cordes. Un treball recent de Mirzakhani amb Eskin reprèn els resultats de rigidesa de Maria Ratner, també morta recentment, per a espais homogenis en el context no homogeni dels espais de moduli.

Maryam era el somni americà fet realitat: Nascuda el 1977, des de petita havia estat una apassionada lectora de llibres i desitjava amb il·lusió ser escriptora. El seu germà gran li explicava temes matemàtics que ell aprenia i això li va fer veure com d’atractives i interessants li resultaven i va arribar a confiar que ella podia resoldre aquests problemes. Maryam va estudiar amb la seva amiga Roya Beheshti, ara professora titular a Washington, i juntes aquestes dues dones van aconseguir representar l’Iran en les Olimpíades Matemàtiques. Va guanyar dues vegades successives, 1994 i 1995, l’Olimpíada Internacional de Matemàtiques. Va estudiar a Teheran, a la Universitat Sharif, i va marxar després als Estats Units a fer el doctorat a Harvard sota la supervisió d’un altre medalla Fields, Curtis McMullen, defensant una tesi titulada “Simple Geodesics on Hyperbolic Surfaces and Volume of the moduli Space of Curves “el 2004. Curtis McMullen defineix a Maryam Mirzakhani com extremadament imaginativa i original. Segons els seus col·legues més propers, quan atacava un problema ho feia sense por, amb ambició i determinació. I eren problemes que molts altres no s’atrevien a tractar. Mai triava el camí més fàcil.

Després de la seva tesi, es va traslladar a Princeton com a professora assistent, i definitivament a Stanford on va ser catedràtica. El 2017 ens va donar una nova lliçó a tots entrant a l’Acadèmia de les Arts i les Ciències a la qual només pertanyen 11 professors de Stanford, una universitat amb més de dos mil professors. El 7 d’octubre de 2017 estava prevista la cerimònia de recepció.

Maryam apareixia senzilla davant dels mitjans. Deia en ocasions que “La bellesa de les matemàtiques només es mostra als seguidors més pacients” animant-nos a perseverar en l’estudi de les matemàtiques, sobretot als joves. Acceptava reconeixements només amb la idea que això motivés a altres persones a seguir el seu camí de treball i dedicació a aquest estudi, tal com reconeix el president de Stanford.

Maryam Mirkhazani està revolucionant el seu país d’origen fins i tot després de la seva mort, tal i com ja ho va fer en preparar les olimpíades matemàtiques juntament amb la seva amiga Roya: Per donar la notícia de la seva mort i de la seva fama, s’ha permès que els diaris oficials trenquin el tabú de només presentar les dones amb hijab i s’ha presentat una proposta de llei per reconèixer els fills que les dones iranianes tinguin amb estrangers.

Acabem aquest obituari amb una altra cita d’un poeta persa també matemàtic, Omar Khayyam, pensant en la frase de Firouz Naderi

Llums que s’apaguen, esperances que s’encenen:
l’aurora.
Llums que s’encenen, esperances que s’apaguen:
la nit.

Descansa en pau Maryam Mirzakhani i segueix il·luminant amb aquesta llum que no s’apaga. Has ensenyat a volar alt i a somniar fort a totes les dones matemàtiques del planeta independentment del seu origen. T’has convertit en un símbol per a totes les persones, homes i dones. Prendrem la teva torxa i seguirem el relleu.


Eva Miranda Galcerán i Miguel Carlos Muñoz Lecanda, Universitat Politècnica de Catalunya.